ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Белорусского государственного университета
приглашает к участию в традиционном
XXXIII Мультипрофильном Турнире – олимпиаде по математике, информатике и криптографии – далее олимпиада
Олимпиада ФПМИ БГУ имеет давние традиции, начатые еще в 1992 году, и состоит из двух взаимосвязанных частей: творческой олимпиады по математике для учащихся 5‑10 классов (по разным направлениям и параллелям) и олимпиады по математике, информатике и криптографии для 11 классов.
В этом году олимпиада имеет особый характер, ибо, как многие знают, начиная с 2023 года, во многих университетах республики введено положение о зачислении победителей без вступительных экзаменов! В этом году данное положение не касается минских университетов, но мы уверены, что подобные правила будут введены и для нас. Отсюда – дополнительный подтекст наших олимпиад – потренироваться и почувствовать свою готовность побороться за место среди победителей!
Первая часть олимпиады – творческая – позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и способности к решению не совсем обычных заданий – творческих, содержащих в своей основе аналитический и исследовательский компонент. Многие из этих задач являются в последующем хорошими темами для представления на конференциях школьников; многие из ребят в последующем продолжают исследование этих задач в школах юного ученого, на школьных факультативах, а также в Республиканской летней научно-исследовательской школе Министерства образования и Белорусского государственного университета на базе лагеря «Бригантина» БГУ (см. примечание 3).
Вторая часть призвана помочь выпускникам школ определиться со своими интересами в плане выбора будущего образования – факультета и профессии.
Участие в олимпиаде бесплатное.
Олимпиада пройдет в два тура (первый – заочный). Участниками могут быть учащиеся учреждений среднего образования, зарегистрировавшиеся на сайте www.uni.bsu.by на странице олимпиады.
Решения задач первого тура нужно оформить в обычной ученической тетради четким разборчивым почерком (рисунки и схемы могут быть исполнены карандашом или шариковой ручкой). На обложке тетради указываются следующие сведения: фамилия, имя, отчество автора, полный домашний адрес с почтовым индексом, номер домашнего и мобильного телефона, адрес электронной почты, полное название учебного заведения и класс. Тетрадь следует отправить или представить непосредственно в оргкомитет по адресу:
"Олимпиада ФПМИ", ФПМИ БГУ, (каб. 515),
пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск
Прием работ первого тура – до 13 апреля 2024 г.
Разрешается прислать скан выполненной работы (в виде одного pdf-файла) по электронной почте на адреса, соответствующие своему классу:
5 класс – 5c.1z.ofpmi@gmail.com
6 класс – 6c.1z.ofpmi@gmail.com
7 класс – 7c.1z.ofpmi@gmail.com
8 класс – 8c.1z.ofpmi@gmail.com
9 класс – 9c.1z.ofpmi@gmail.com
10 класс – 10c.1z.ofpmi@gmail.com
11 класс – 11c.1z.ofpmi@gmail.com
Для этого необходимо всю работу сканировать или сфотографировать, сформировать в виде одного pdf-файла, названного по следующему образцу: «Фамилия имя – класс – название учреждения образования» и отправить по электронному адресу соответствующему своему классу. Работа и скан должны быть аккуратно и четко оформлены, страницы (или фото) пронумерованы по порядку выполненных заданий (желательно выполнять работу четким черным стержнем, обязательно проверьте качество и нумерацию страниц скана или фото перед отправкой). В начале работы следует указать сведения об участнике, перечисленные выше. В случае невыполнения этих требований жюри оставляет за собой право отклонить работу.
Лучшим участникам заочного тура не позднее 23 апреля 2024 года будут высланы приглашения для участия в заключительном туре (на электронные адреса, указанные в Ваших заявках), Списки приглашенных участников, а также программа этого тура будет также размещена на сайте www.uni.bsu.by в разделе «Олимпиада по математике и информатике и криптографии».
Заключительный тур олимпиады пройдет в течение двух дней в БГУ на факультете прикладной математики и информатики 27-28 апреля 2024 года.
Возможно проведение заключительного тура в очном формате в некоторых областных городах при условии достаточного количества участников этих областей успешно прошедших первый – заочный этап олимпиады и приглашенных на заключительный тур. Обращаем внимание, что результаты всех таких участников будут оцениваться и поощряться по отдельному конкурсу.
Примечания. 1) Согласно положению на заключительный тур без предварительного отбора приглашаются победители и призеры олимпиады ФПМИ среди 5‑10‑х классов, проведенной в 2023 году, а также победители областных и Минской городской олимпиады школьников по математике, информатике, физике и астрономии, участники заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников и победители Республиканского конкурса работ исследовательского характера (конференции) учащихся по этим предметам, победители Международного математического Турнира городов, Республиканского и Минского городского открытого (младшая лига) турнира юных математиков. Лица, которые сразу допускаются к участию во втором туре олимпиады, должны до 13 апреля 2024 г. представить в оргкомитет заявление, содержащее сведения об участнике (см. перечисленное выше), и копию(и) документов, подтверждающих право участия во втором туре. Указанные документы можно представить как лично, так и по указанным выше электронным адресам (отправить сканы или фото на адреса в соответствии со своим классом).
2) Заключительный тур олимпиады в БГУ (в г. Минске) будет проводиться в два дня: в первый день – письменная олимпиадная работа по четырем группам: младшие группы – 5-6 и 7-8-е классы, средняя группа – 9-10-е классы; старшая группа – 11-е классы; во второй – разбор задач, награждение победителей, встреча с деканатом факультета прикладной математики и информатики БГУ. Особенности проведения заключительного тура в других города будут (при необходимости) определены позднее.
3) Победители олимпиады в очном формате (в том числе в других городах) – учащиеся 5-9 классов – получают право участвовать в заключительном туре олимпиады в следующем учебном году без предварительного отбора, а призеры – во втором туре этой олимпиады.
Кроме этого, лучшие участники олимпиады – учащиеся 5-10 классов – получают рекомендацию для участия в XXVIII Республиканской летней научно-исследовательской школе учащихся и учителей 6-23 июля 2024 года, проводимой на базе спортивно-оздоровительного комплекса «Бригантина» Белорусского государственного университета (в количестве, определенном оргкомитетом названной школы). Подробнее о летней школе см. информацию на сайте: www.uni.bsu.by.
Дополнение: о направлении «криптография» в олимпиадах ФПМИ БГУ
Направление «криптография» появилось в рамках олимпиад ФПМИ БГУ, начиная с 2014 года, и в его организации активно участвует научно-исследовательский институт прикладных проблем математики и информатики БГУ с целью знакомства учащихся старших классов (9 – 11 классы) с интересными, необычными с точки зрения классических математических олимпиад и имеющими практическое значение, задачами такой современной науки, как криптография. Отметим, что к участию допускаются учащиеся и более младших классов. Участие в олимпиаде бесплатное.
Криптография (от др.-греч. κρυπτός — скрытый и γράφω — пишу) — это область на стыке математики и информатики в которой изучаются модели и методы преобразования информации (шифрования) в целях сокрытия ее содержимого, предотвращения видоизменения или несанкционированного использования. На сегодняшний день криптография широко встречается в нашей повседневной жизни (в мобильной связи, при операциях с банковскими карточками, в Интернете и т.п.). В криптографии активно используются все последние достижения в области алгебры, теории чисел, комбинаторики, теории вероятностей и информатики.
Для решения задач по криптографии никаких специальных знаний не требуется, достаточно хорошо владеть школьной математикой и уметь применять ее для решения нестандартных задач. Несмотря на то, что условия задач могут сильно отличаться от классических олимпиадных задач по математике, суть задач остается математической.
Условия задач первого тура XXXIII олимпиады
по математике, информатике и криптографии –
прилагаются по 4 параллелям в двух форматах, а также на сайте www.uni.bsu.by на странице олимпиады
Задачи для учащихся 11 классов
- Автобус № 1, на котором ученик может доехать до своей школы без пересадок, идет от его дома до школы 2 часа 1 мин. До школы можно доехать также любым из автобусов № 2, № 3,…,№ К, однако на автобус № P можно пересесть только с автобуса № (P – 1). Маршруты всех автобусов таковы, что, доехав до школы на одном из них, ученик проводит в дороге (не считая пересадок) время, обратно пропорциональное числу использованных автобусов. Кроме того, на каждую пересадку ученику потребуется потратить 4 мин. Верно ли, что существует путь, при котором на дорогу в общей сложности уходит менее 40,1 мин?
- Решить уравнение
- Решить уравнение в целых числах
.
- В треугольнике . Биссектриса угла продолжена до пересечения в точке с окружностью, описанной вокруг треугольника . Найти длину отрезка .
- Авиакомпания, в которой вы работаете менеджером по кадрам, должна сформировать n экипажей самолётов. Каждый экипаж состоит, помимо других должностей, из двух пилотов: командира и второго пилота. Не допускается, чтобы командир экипажа имел меньший налёт часов, чем его второй пилот. В вашем распоряжении имеется 2n кандидатур пилотов, налёт часов каждого пилота известен. При заключении контракта с каждым пилотом была оговорена его зарплата в качестве командира и в качестве второго пилота. Первая величина, естественно, не меньше второй.
Вам необходимо сформировать экипажи таким образом, чтобы минимизировать суммарный фонд зарплаты пилотов. При этом допускается, чтобы зарплата второго пилота была большей, чем зарплата командира его экипажа.
Формат входных данных:
В первой строке описания находится целое чётное число 2n – количество кандидатур пилотов . Каждая из последующих 2n строк соответствует одному пилоту и содержит его зарплату в должности командира и в должности второго пилота, причём первая величина не меньше второй. Значения зарплат – целые положительные числа, не превосходящие 100000. Строки с описаниями зарплат упорядочены строго по возрастанию налёта часов каждого пилота.
Описать алгоритм, который позволяет найти искомый фонд заработной платы пилотов.
- Каждой букве русского алфавита поставлено в соответствие 5 (пять) двоичных цифр согласно таблице. Передача каждой буквы сообщения осуществляется путем передачи каждой из цифр по отдельному проводу. Два провода случайно замкнулись, и в результате на выходе этих проводов появляется 1, как только по одному из них передается 1. Какое осмысленное слово передавалось, если на выходе было получено ЪТИЯТЮУТАЦИЯ?
А
|
Б
|
В
|
Г
|
Д
|
Е
|
Ж
|
З
|
И
|
Й
|
К
|
Л
|
М
|
Н
|
О
|
П
|
Р
|
С
|
Т
|
У
|
Ф
|
Х
|
Ц
|
Ч
|
Ш
|
Щ
|
Ъ
|
Ы
|
Ь
|
Э
|
Ю
|
Я
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Задачи для учащихся 9–10 классов (творческая олимпиада)
- Известно, что {x}×[x] = 100. Найдите [x2] – [x]2. Здесь [x] (целая часть x) – наибольшее целое число, не превосходящее x; {x} = x – [x] (дробная часть x).
- Решите уравнение .
- В последовательности 1, 2, 4, 8, 16, 22 … каждый элемент, начиная со второго равен сумме предыдущего элемента и его последней цифры.
А) Найдите 2024-ый элемент.
Б) Является ли число 2024 элементом данной последовательности? Если да, то какой его номер?
- В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB. Можно ли на сторонах AC и BC поставить соответственно точки E и F так, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD?
- Решите уравнение в целых числах
.
- Пусть an – целое число, ближайшее к . Найдите все такие натуральные n, что .
- Каждой букве русского алфавита поставлено в соответствие 5 (пять) двоичных цифр согласно таблице. Передача каждой буквы сообщения осуществляется путем передачи каждой из цифр по отдельному проводу. Два провода случайно замкнулись, и в результате на выходе этих проводов появляется 1, как только по одному из них передается 1. Какое осмысленное слово передавалось, если на выходе было получено ЪТИЯТЮУТАЦИЯ?
А
|
Б
|
В
|
Г
|
Д
|
Е
|
Ж
|
З
|
И
|
Й
|
К
|
Л
|
М
|
Н
|
О
|
П
|
Р
|
С
|
Т
|
У
|
Ф
|
Х
|
Ц
|
Ч
|
Ш
|
Щ
|
Ъ
|
Ы
|
Ь
|
Э
|
Ю
|
Я
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Задачи для учащихся 7-8 классов (подготовительная олимпиада)
Важное замечание. В каждой задаче после записи ответа необходимо записать его обоснование (пояснение).
- В последовательности 1, 2, 4, 8, 16, 22 … каждый элемент, начиная со второго равен сумме предыдущего элемента и его последней цифры.
А) Найдите 2024-ый элемент.
Б) Является ли число 2024 элементом данной последовательности? Если да, то какой его номер?
- Решите уравнение в целых числах
.
- Мальчик ходит со скоростью 6 км/ч, девочка – со скоростью 4 км/ч, а собака бегает со скоростью 12 км/ч. В некоторый момент из пункта А вышла девочка, а через час – мальчик из того же пункта А и в том же направлении. Одновременно с мальчиком из пункта А выбежала собака, которая бегает все время от одного ребенка к другому. Какое расстояние пробежит собака к моменту, когда мальчик догонит девочку?
- А) Четыре друга делили между собой 111 орехов. После дележа каждый мальчик обнаружил, что у кого-то из остальных есть либо столько же орехов, сколько у него, либо ровно в два раза больше. Могло ли так быть?
Б) Найдите все возможные натуральные значения К такие, что мальчики, имея К орехов, могли осуществить делёж, описанный в пункте А).
- Автобус № 1, на котором ученик может доехать до своей школы без пересадок, идет от его дома до школы 2 часа 1 мин. До школы можно доехать также любым из автобусов № 2, № 3,…,№ К, однако на автобус № P можно пересесть только с автобуса № (P – 1). Маршруты всех автобусов таковы, что, доехав до школы на одном из них, ученик проводит в дороге (не считая пересадок) время, обратно пропорциональное числу использованных автобусов. Кроме того, на каждую пересадку ученику потребуется потратить 4 мин. Верно ли, что существует путь, при котором на дорогу в общей сложности уходит менее 40,1 мин?
- Дан прямой угол О и точка С внутри него. Рассмотрим такой прямоугольник СDМЕ, что точки D и Е лежат на сторонах угла. Найдите длину отрезка ОМ, если диагональ прямоугольника равна 10 см, а ÐОМС = 60°.
- Код от сейфа представляет собой четырехзначное число, не содержащее одинаковых цифр. При вводе неверного кода, с помощью специального оборудования можно узнать:
- количество угаданных цифр, расположенных на своих местах;
- количество угаданных цифр, расположенных НЕ на своих местах.
Было предпринято 4 попытки угадать код (см.ниже), и оказалось, что в каждой из попыток была угадана 1 (одна) цифра, расположенная на своем месте, и 0 (нуль) цифр, расположенных не на своих местах:
1) 0826; 2) 4817; 3) 0713; 4) 1527.
Сможете ли вы по этим данным узнать, какой код от сейфа?
Задачи для учащихся 5-6 классов (начальная олимпиада)
Важное замечание. В каждой задаче после записи ответа необходимо записать его обоснование (пояснение).
- В некотором классе одной школы каждый мальчик поздравил с праздником 8 Марта четыре девочки, а каждая девочка поздравила с 23 февраля пять мальчиков. Причем общее количество поздравлений от мальчиков девочкам оказалось равным общему числу поздравлений от девочек мальчикам. Сколько школьников может учиться в этом классе, если известно, что их не более 30? Ответ объясните.
- Четыре друга – Петя, Витя, Толя и Коля попали в Сказочное Королевство. Петя бегает в два раза быстрее Вити, в три раза быстрее Толи, в 5 раз быстрее Коли и в 10 раз быстрее Королевского Скорохода. На беговой дорожке все стартовали одновременно. Петя прибежал к финишу на 12 секунд раньше Вити. На сколько секунд Петя прибежал к финишу раньше Коли и на сколько секунд раньше Королевского Скорохода? Запиши свои рассуждения и ответ.
- А) Четыре друга делили между собой 111 орехов. После дележа каждый мальчик обнаружил, что у кого-то из остальных есть либо столько же орехов, сколько у него, либо ровно в два раза больше. Могло ли так быть? Ответ объясните.
Б) Найдите все возможные натуральные значения К такие, что мальчики, имея К орехов, могли осуществить делёж, описанный в пункте А).
- Некоторые клетки квадратной клетчатой доски n´n (n>3) покрасили в синий цвет (есть хотя бы одна покрашенная клетка и хотя бы одна непокрашенная). При этом из любых четырех клеток, имеющих общую вершину, покрашено четное количество, т.е. либо все четыре, либо две, либо ни одной. Сколько угловых клеток доски может при этом получиться окрашенными? Укажите все возможности и подтвердите их примерами.
- В шести примерах каждую цифру зашифровали буквой (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные цифры — разными):
- ИХ – М = А,
- ИМ + М = ХЕ,
- Л + ИМ = ИВ,
- ИВ – А = ИХ,
- ИИ + К = ИЛ,
- ИП – ИТ = Х.
Запишите число, зашифрованное словом АППЕТИТ. Ответ объясните.
- Код от сейфа представляет собой четырехзначное число, не содержащее одинаковых цифр. При вводе неверного кода, с помощью специального оборудования можно узнать:
- количество угаданных цифр, расположенных на своих местах;
- количество угаданных цифр, расположенных НЕ на своих местах.
Было предпринято 4 попытки угадать код (см.ниже), и оказалось, что в каждой из попыток была угадана 1 (одна) цифра, расположенная на своем месте, и 0 (нуль) цифр, расположенных не на своих местах:
1) 0826; 2) 4817; 3) 0713; 4) 1527.
Сможете ли вы по этим данным узнать, какой код от сейфа?